2016考研历届数学真题题型解析（数学二） 下载 网盘 kindle mobi 115盘 pdf pdb rtf

　　本书是作者在十多年收集、整理资料和进行考研数学一辅导的基础上，通过对历年试题的精心分析研究，并结合授课体会和学生的需要全新编写而成的。通过认真分析研究、了解、消化和掌握历年试题，帮助考生发现命题的特点和趋势，找出知识之间的有机联系，总结每部分内容的考查重点、难点，归纳常考典型题型，凝练解题思路、方法和技巧，明确复习方向，从而真正做到有的放矢、事半功倍地进行复习。

部分 高等数学

　章 函数、极限、连续

　　题型1.1函数的概念及其特性

　　题型1.2极限概念与性质

　　题型1.3函数极限的计算

　　题型1.4函数极限的逆问题

　　题型1.5数列的极限

　　题型1.6无穷小量的比较

　　题型1.7函数的连续性及间断点的分类

　　本章 总结

　　自测练习题

　　自测练习题答案或提示

　第二章 一元函数微分学

　　题型2.1考查导数的定义

　　题型2.2导数的几何、物理应用

　　题型2.3一般导函数的计算

　　题型2.4可导、连续与极限的关系

　　题型2.5微分的概念与计算

　　题型2.6利用导数确定单调区间与极值

　　题型2.7求函数的值

　　题型2.8求函数曲线的凹凸区间与拐点

　　题型2.9求函数曲线的渐近线

　　题型2.10利用导数综合研究函数的性态

　　题型2.11确定函数方程f(x)=0的根

　　题型2.12确定导函数方程f′(x)=0的根

　　题型2.13有关高阶导数中值的命题

　　题型2.14微分中值定理的综合应用

　　题型2.15利用导数证明不等式

　　题型2.16曲率与弧长的计算

　　本章 总结

　　自测练习题

　　自测练习题答案或提示

　第三章 一元函数积分学

　　题型3.1原函数与不定积分的概念

　　题型3.2定积分的基本概念与性质

　　题型3.3不定积分的计算

　　题型3.4定积分的计算

　　题型3.5变限积分

　　题型3.6定积分的证明题

　　题型3.7反常积分

　　题型3.8应用题

　　本章 总结

　　自测练习题

　　自测练习题答案或提示

　第四章 多元函数微分学

　　题型4.1基本概念题

　　题型4.2多元复合函数求偏导数和全微分

　　题型4.3隐函数求偏导和全微分

　　题型4.4求在变换下方程的变形

　　题型4.5求多元函数的极值和值

　　本章 总结

　　自测练习题

　　自测练习题答案或提示

　第五章 重积分

　　题型5.1二重积分的定义

　　题型5.2将二重积分化为累次积分

　　题型5.3利用积分区域的对称性和被积函数的奇偶性计算二重积分

　　题型5.4分块计算二重积分

　　题型5.5交换坐标系

　　本章 总结

　　自测练习题

　　自测练习题答案或提示

　第六章 微分方程

　　题型6.1一阶微分方程

　　题型6.2可降阶方程

　　题型6.3高阶常系数线性微分方程

　　题型6.4微分方程的应用

　　本章 总结

　　自测练习题

　　自测练习题答案或提示

第二部分 线性代数

　章 行列式

　　题型1.1利用行列式的性质和按行(列)展开定理计算行列式

　　题型1.2利用行列式和矩阵的运算性质计算行列式

　　题型1.3利用秩、特征值和相似矩阵等计算行列式

　　本章 总结

　　自测练习题

　　自测练习题答案或提示

　第二章 矩阵

　　题型2.1有关逆矩阵的计算与证明

　　题型2.2矩阵的乘法运算

　　题型2.3解矩阵方程

　　题型2.4与初等变换有关的命题

　　题型2.5与伴随矩阵A*有关的命题

　　题型2.6矩阵秩的计算与证明

　　本章 总结

　　自测练习题

　　自测练习题答案或提示

　第三章 向量

　　题型3.1向量的线性组合与线性表示

　　题型3.2向量组的线性相关性

　　题型3.3求向量组的秩与矩阵的秩

　　本章 总结

　　自测练习题

　　自测练习题答案或提示

　第四章 线性方程组

　　题型4.1解的判定、性质和结构

　　题型4.2求齐次线性方程组的基础解系、通解

　　题型4.3求非齐次线性方程组的基础解系、通解

　　题型4.4抽象方程组的求解问题

　　题型4.5有关基础解系的命题

　　题型4.6讨论两个方程组解之间的关系（公共解、同解）

　　题型4.7与AB=0有关的命题

　　本章 总结

　　自测练习题

　　自测练习题答案或提示

　第五章 矩阵的特征值与特征向量

　　题型5.1求数字矩阵的特征值和特征向量

　　题型5.2求抽象矩阵的特征值

　　题型5.3特征值、特征向量的逆问题

　　题型5.4相似矩阵的判定及其逆问题

　　题型5.5可对角化的判定及其逆问题

　　题型5.6实对称矩阵的性质

　　本章 总结

　　自测练习题

　　自测练习题答案或提示

　第六章 二次型

　　题型6.1合同变换与合同矩阵

　　题型6.2化二次型为标准形或规范形的逆问题

　　本章 总结

附录

　附录一2003年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题

　附录二2004年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题

　附录三2005年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题

　附录四2006年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题

　附录五2007年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题

　附录六2008年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题

　附录七2009年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题

　附录八2010年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题

　附录九2011年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题

　附录十2012年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题

　附录十一2013年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题

　附录十二2014年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题

　附录十三2015年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题

　　黄先开、曹显兵，教授，考研数学辅导领军人物，均为中国科学院数学博士，知名高校教授，在学术界和科研上贡献突出，在考研辅界有很好的口碑和群众基础，授课各具特色，深受考生欢迎。各自均出版多部专著和多篇重要学术论文，并主编考研图书多部。 因严谨权威精准深受考研欢迎。

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　　章函数、极限、连续

　　部分高等数学

　　函数的概念及其复合，包括分段函数的复合，本质上是函数关系的建立问题，而建立函数关系是进一步研究函数性质的基础.对于函数的四个主要特性:奇偶性和周期性一般用定义检验；单调性则大多用导数符号分析；有界性往往需要结合极限与连续的性质来确定.

　　题型12极限概念与性质

　　（03，4分）设an,bn,cn均为非负数列，且limn→∞an=0,limn→∞bn=1,limn→∞cn=∞,则必有

　　（A）an＜bn对任意n成立.（B）bn＜cn对任意n成立.

　　（C）极限limn→∞ancn不存在.（D）极限limn→∞bncn不存在.【】

　　【答案】应选（D）.

　　【详解1】本题考查极限的概念，极限值与数列前面有限项的大小无关，可立即排除（A）,（B）； 而极限limn→∞ancn是“0·∞”型未定式，可能存在也可能不存在，举反例说明即可；极限limn→∞bncn属“1·∞”型，必为无穷大量，即不存在.故应选（D）.

　　【详解2】用举反例法，取an=2n，bn=1，cn=12n（n=1,2,…），则可立即排除（A）,（B）,（C），故应选（D）.

　　关于极限的存在性，以下几点是值得注意的：

　　1若limf存在，limg不存在，则lim（f±g）一定不存在,但limfg,limfg可能存在，也可能不存在;

　　2若limf=l≠0，limg=∞,则limfg=∞；

　　3若f有界，limg=∞,则lim（f±g）=∞，但limfg不一定为∞.

　　题型13函数极限的计算

　　1 （04，10分）求极限limx→01x32+cosx3x-1.

　　【分析】此极限属于“00”型未定式.可利用洛必塔法则,并结合等价无穷小代换求解.

　　【详解1】原式=limx→0exln2+cosx3-1x3=limx→0ln2+cosx3x2

　　=limx→0ln（2+cosx）-ln3x2=limx→012+cosx·（-sinx）2x

　　=-12limx→012+cosx·sinxx

　　=-16.

　　【详解2】原式=limx→0exln2+cosx3-1x3=limx→0ln2+cosx3x2

　　=limx→0ln1+cosx-13x2=limx→0cosx-13x2

　　=-16.

　　2（07，4分）limx→0arctanx-sinxx3=.

　　【答案】应填-16.

　　【详解】limx→0arctanx-sinxx3=limx→011+x2-cosx3x2

　　=limx→013·11+x2·1-（1+x2）cosxx2

　　=13limx→0-2xcosx+（1+x2）sinx2x

　　=13·-1+12=-16.

　　3（08, 9分） 求极限lim x→0［sinx-sin（sinx）］sinxx4.

　　【详解】利用无穷小量的等价代换以及洛必塔法则,有

　　limx→0［sinx-sin（sinx）］sinxx4=limx→0sinx-sin（sinx）x3

　　=limx→0cosx-cos（sinx）cosx3x2=limx→01-cos（sinx）3x2

　　=limx→0sin（sinx）·cosx6x=16limx→0sinxx=16.

　　4（09， 9分） 求极限lim x→0（1－cosx）［x－ln（1+tanx）］sin4x.

　　【分析】利用无穷小量替换及洛必塔法则.

　　【详解】limx→0（1－cosx）［x－ln（1+tanx）］sin4x

　　=limx→012x2［x－ln（1+tanx）］x4

　　=12limx→0x－ln（1+tanx）x2

　　=14limx→01+tanx－sec2xx（1+tanx）=14limx→0tanx－tan2xx=14.

　　5（11,4分）limx→01+2x21x=

　　【答案】应填2

　　【分析】是未定式“1∞”型，属基础题型

　　【详解】limx→01+2x21x=elimx→01+2x2－1x=elimx→02x－12x=elimx→02xln22=2

　　6（13,4分）limx→0［2－ln（1+x）x］1x= .

　　【答案】应填e12.

　　【详解】属于“1∞”未定式.

　　limx→0［2－ln（1+x）x］1x= limx→0e1xln［2－ln（1+x）x］=elimx→0x－ln（1+x）x2

　　=elimx→01－11+x2x=elimx→012（1+x）=e12.

　　【评注】若 lim f（x）=1,lim g（x）= ∞, 则

　　limf（x）g（x）（“1∞”型） = elimg（x）lnf（x）=elimg（x）［f（x）－1］.

　　7（14，4分）设函数 f （x）=arctanx.若函数 f （x） = x f′ （ξ）, 则 limx→0ξ2x2=

　　（A）1（B） 23（C） 12（D） 13【】

　　【答案】 应选 （D） 

　　【分析】关键是将极限式中的变量ξ转化为x, 再按正常求极限方法进行

　　【详解】由已知条件 f （x） = x f′ （ξ） ,有arctanx=x1+ξ2,因此 ξ2=x－arctanxarctanx,

　　于是 limx→0ξ2x2=limx→0x－arctanxx2arctanx=limx→0x－arctanxx3

　　=limx→01－11+x23x2=13

　　【评注】题设条件就是把函数 f （x） = arctanx在区间[0, x]上利用Lagrange中值定理所得

　　8（14，10分） 求极限limx→+∞∫x1［t2（e1t－1）－t］dtx2ln（1+1x） 

　　【分析】 利用等价无穷小代换和LHospital法则

　　【详解】limx→+∞∫x1［t2（e1t－1）－t］dtx2ln（1+1x）=limx→+∞∫x1［t2（e1t－1）－t］dtx2·1x

　　=limx→+∞x2（e1x－1）－x1=limx→+∞e1x－1－1x1x2

　　=limt→0+et－1－tt2=limt→0+et－12t

　　= 12

　　【评注】注意在求极限过程中，等价无穷小代换、变量代换常常可以简化计算，因此要充分利用

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